Lutasin ang {l}{x+y=2}{5x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 5 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=2,5x+3y=13$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=2$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+2$$

I-substitute ang -y+2 para sa x sa kabilang equation na 5x+3y=13.

$$5\left(-y+2\right)+3y=13$$

I-multiply ang 5 times -y+2.

$$-5y+10+3y=13$$

Idagdag ang -5y sa 3y.

$$-2y+10=13$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

I-substitute ang -\frac{3}{2} para sa y sa x=-y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

I-multiply ang -1 times -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}+2$$

Idagdag ang 2 sa \frac{3}{2}.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=2,5x+3y=13$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 13\\\frac{5}{2}\times 2-\frac{1}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=2,5x+3y=13$$

Para gawing magkatumbas ang x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$5x+5y=5\times 2,5x+3y=13$$

Pasimplehin.

$$5x+5y=10,5x+3y=13$$

I-subtract ang 5x+3y=13 mula sa 5x+5y=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x+5y-3y=10-13$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y-3y=10-13$$

Idagdag ang 5y sa -3y.

$$2y=10-13$$

Idagdag ang 10 sa -13.

$$2y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

I-substitute ang -\frac{3}{2} para sa y sa 5x+3y=13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+3\left(-\frac{3}{2}\right)=13$$

I-multiply ang 3 times -\frac{3}{2}.

$$5x-\frac{9}{2}=13$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{35}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$