Lutasin ang {l}{x+y=18}{31x=2(20+y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 18 } \\ { 31 x = 2 ( 20 + y ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{76}{33} = 2\frac{10}{33} \approx 2.303030303$$

$$y = \frac{518}{33} = 15\frac{23}{33} \approx 15.696969697$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 20+y.

$$31x=40+2y$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$31x-2y=40$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=18,31x-2y=40$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=18$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+18$$

I-substitute ang -y+18 para sa x sa kabilang equation na 31x-2y=40.

$$31\left(-y+18\right)-2y=40$$

I-multiply ang 31 times -y+18.

$$-31y+558-2y=40$$

Idagdag ang -31y sa -2y.

$$-33y+558=40$$

I-subtract ang 558 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-33y=-518$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -33.

$$y=\frac{518}{33}$$

I-substitute ang \frac{518}{33} para sa y sa x=-y+18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{518}{33}+18$$

Idagdag ang 18 sa -\frac{518}{33}.

$$x=\frac{76}{33}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{76}{33},y=\frac{518}{33}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 20+y.

$$31x=40+2y$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$31x-2y=40$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=18,31x-2y=40$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-31}&-\frac{1}{-2-31}\\-\frac{31}{-2-31}&\frac{1}{-2-31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{33}&\frac{1}{33}\\\frac{31}{33}&-\frac{1}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{33}\times 18+\frac{1}{33}\times 40\\\frac{31}{33}\times 18-\frac{1}{33}\times 40\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{33}\\\frac{518}{33}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{76}{33},y=\frac{518}{33}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 20+y.

$$31x=40+2y$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$31x-2y=40$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=18,31x-2y=40$$

Para gawing magkatumbas ang x at 31x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 31 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$31x+31y=31\times 18,31x-2y=40$$

Pasimplehin.

$$31x+31y=558,31x-2y=40$$

I-subtract ang 31x-2y=40 mula sa 31x+31y=558 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$31x-31x+31y+2y=558-40$$

Idagdag ang 31x sa -31x. Naka-cancel out ang term na 31x at -31x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$31y+2y=558-40$$

Idagdag ang 31y sa 2y.

$$33y=558-40$$

Idagdag ang 558 sa -40.

$$33y=518$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 33.

$$y=\frac{518}{33}$$

I-substitute ang \frac{518}{33} para sa y sa 31x-2y=40. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$31x-2\times \frac{518}{33}=40$$

I-multiply ang -2 times \frac{518}{33}.

$$31x-\frac{1036}{33}=40$$

Idagdag ang \frac{1036}{33} sa magkabilang dulo ng equation.

$$31x=\frac{2356}{33}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 31.

$$x=\frac{76}{33}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{76}{33},y=\frac{518}{33}$$