Lutasin ang {l}{x+y=140}{x/y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { \frac { x } { y } = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{245}{2} = 122\frac{1}{2} = 122.5$$

$$y = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} = 17.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang y.

$$x=7y$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$x-7y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=140$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+140$$

I-substitute ang -y+140 para sa x sa kabilang equation na x-7y=0.

$$-y+140-7y=0$$

Idagdag ang -y sa -7y.

$$-8y+140=0$$

I-subtract ang 140 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8y=-140$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$y=\frac{35}{2}$$

I-substitute ang \frac{35}{2} para sa y sa x=-y+140. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{35}{2}+140$$

Idagdag ang 140 sa -\frac{35}{2}.

$$x=\frac{245}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang y.

$$x=7y$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$x-7y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-1}&-\frac{1}{-7-1}\\-\frac{1}{-7-1}&\frac{1}{-7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 140\\\frac{1}{8}\times 140\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{245}{2}\\\frac{35}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang y.

$$x=7y$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$x-7y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=140,x-7y=0$$

I-subtract ang x-7y=0 mula sa x+y=140 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-x+y+7y=140$$

Idagdag ang x sa -x. Naka-cancel out ang term na x at -x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y+7y=140$$

Idagdag ang y sa 7y.

$$8y=140$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=\frac{35}{2}$$

I-substitute ang \frac{35}{2} para sa y sa x-7y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-7\times \frac{35}{2}=0$$

I-multiply ang -7 times \frac{35}{2}.

$$x-\frac{245}{2}=0$$

Idagdag ang \frac{245}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{245}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$