Lutasin ang {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+my=a$$

I-subtract ang my mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

I-substitute ang a-my para sa x sa kabilang equation na x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

Idagdag ang -my sa -ny.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

I-subtract ang a mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -m-n.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

I-substitute ang -\frac{b-a}{m+n} para sa y sa x=\left(-m\right)y+a. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

I-multiply ang -m times -\frac{b-a}{m+n}.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

Idagdag ang a sa \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

I-subtract ang x+\left(-n\right)y=b mula sa x+my=a sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-x+my+ny=a-b$$

Idagdag ang x sa -x. Naka-cancel out ang term na x at -x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$my+ny=a-b$$

Idagdag ang my sa ny.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang m+n.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

I-substitute ang \frac{a-b}{m+n} para sa y sa x+\left(-n\right)y=b. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

I-multiply ang -n times \frac{a-b}{m+n}.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Idagdag ang \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$