Lutasin ang {l}{x+3y=6}{2x+y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+3y=6$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-3y+6$$

I-substitute ang -3y+6 para sa x sa kabilang equation na 2x+y=7.

$$2\left(-3y+6\right)+y=7$$

I-multiply ang 2 times -3y+6.

$$-6y+12+y=7$$

Idagdag ang -6y sa y.

$$-5y+12=7$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5y=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=-3y+6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3+6$$

Idagdag ang 6 sa -3.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 2}&-\frac{3}{1-3\times 2}\\-\frac{2}{1-3\times 2}&\frac{1}{1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 6+\frac{3}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 6-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Para gawing magkatumbas ang x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2x+2\times 3y=2\times 6,2x+y=7$$

Pasimplehin.

$$2x+6y=12,2x+y=7$$

I-subtract ang 2x+y=7 mula sa 2x+6y=12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+6y-y=12-7$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y-y=12-7$$

Idagdag ang 6y sa -y.

$$5y=12-7$$

Idagdag ang 12 sa -7.

$$5y=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 2x+y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+1=7$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$