Lutasin ang {l}{x+2y=7}{y-x=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { y - x = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+2y=7$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2y+7$$

I-substitute ang -2y+7 para sa x sa kabilang equation na -x+y=1.

$$-\left(-2y+7\right)+y=1$$

I-multiply ang -1 times -2y+7.

$$2y-7+y=1$$

Idagdag ang 2y sa y.

$$3y-7=1$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=\frac{8}{3}$$

I-substitute ang \frac{8}{3} para sa y sa x=-2y+7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\times \frac{8}{3}+7$$

I-multiply ang -2 times \frac{8}{3}.

$$x=-\frac{16}{3}+7$$

Idagdag ang 7 sa -\frac{16}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 7-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\times 7+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+2y=7,-x+y=1$$

Para gawing magkatumbas ang x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-x-2y=-7,-x+y=1$$

I-subtract ang -x+y=1 mula sa -x-2y=-7 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x+x-2y-y=-7-1$$

Idagdag ang -x sa x. Naka-cancel out ang term na -x at x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y-y=-7-1$$

Idagdag ang -2y sa -y.

$$-3y=-7-1$$

Idagdag ang -7 sa -1.

$$-3y=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=\frac{8}{3}$$

I-substitute ang \frac{8}{3} para sa y sa -x+y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+\frac{8}{3}=1$$

I-subtract ang \frac{8}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-\frac{5}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$