Lutasin ang {l}{x+2y=1}{-x+3y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - x + 3 y = - 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+2y=1$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2y+1$$

I-substitute ang -2y+1 para sa x sa kabilang equation na -x+3y=-4.

$$-\left(-2y+1\right)+3y=-4$$

I-multiply ang -1 times -2y+1.

$$2y-1+3y=-4$$

Idagdag ang 2y sa 3y.

$$5y-1=-4$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-\frac{3}{5}$$

I-substitute ang -\frac{3}{5} para sa y sa x=-2y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\left(-\frac{3}{5}\right)+1$$

I-multiply ang -2 times -\frac{3}{5}.

$$x=\frac{6}{5}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{6}{5}.

$$x=\frac{11}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-2\left(-1\right)}&\frac{1}{3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

Para gawing magkatumbas ang x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-x-2y=-1,-x+3y=-4$$

I-subtract ang -x+3y=-4 mula sa -x-2y=-1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x+x-2y-3y=-1+4$$

Idagdag ang -x sa x. Naka-cancel out ang term na -x at x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y-3y=-1+4$$

Idagdag ang -2y sa -3y.

$$-5y=-1+4$$

Idagdag ang -1 sa 4.

$$-5y=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=-\frac{3}{5}$$

I-substitute ang -\frac{3}{5} para sa y sa -x+3y=-4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+3\left(-\frac{3}{5}\right)=-4$$

I-multiply ang 3 times -\frac{3}{5}.

$$-x-\frac{9}{5}=-4$$

Idagdag ang \frac{9}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-\frac{11}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=\frac{11}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$