Lutasin ang {l}{u+v=10}{3u-2v=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { u + v = 10 } \\ { 3 u - 2 v = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang u, v

$$u=5$$

$$v=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa u sa pamamagitan ng pag-isolate sa u sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$u+v=10$$

I-subtract ang v mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$u=-v+10$$

I-substitute ang -v+10 para sa u sa kabilang equation na 3u-2v=5.

$$3\left(-v+10\right)-2v=5$$

I-multiply ang 3 times -v+10.

$$-3v+30-2v=5$$

Idagdag ang -3v sa -2v.

$$-5v+30=5$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5v=-25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$v=5$$

I-substitute ang 5 para sa v sa u=-v+10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang u nang direkta.

$$u=-5+10$$

Idagdag ang 10 sa -5.

$$u=5$$

Nalutas na ang system.

$$u=5,v=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 10-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na u at v.

$$u=5,v=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$u+v=10,3u-2v=5$$

Para gawing magkatumbas ang u at 3u, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3u+3v=3\times 10,3u-2v=5$$

Pasimplehin.

$$3u+3v=30,3u-2v=5$$

I-subtract ang 3u-2v=5 mula sa 3u+3v=30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3u-3u+3v+2v=30-5$$

Idagdag ang 3u sa -3u. Naka-cancel out ang term na 3u at -3u ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3v+2v=30-5$$

Idagdag ang 3v sa 2v.

$$5v=30-5$$

Idagdag ang 30 sa -5.

$$5v=25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$v=5$$

I-substitute ang 5 para sa v sa 3u-2v=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang u nang direkta.

$$3u-2\times 5=5$$

I-multiply ang -2 times 5.

$$3u-10=5$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3u=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$u=5$$

Nalutas na ang system.

$$u=5,v=5$$