Lutasin ang {l}{a+2b=8}{3a+4b=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 2 b = 8 } \\ { 3 a + 4 b = 18 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=2$$

$$b=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$a+2b=8,3a+4b=18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$a+2b=8$$

I-subtract ang 2b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=-2b+8$$

I-substitute ang -2b+8 para sa a sa kabilang equation na 3a+4b=18.

$$3\left(-2b+8\right)+4b=18$$

I-multiply ang 3 times -2b+8.

$$-6b+24+4b=18$$

Idagdag ang -6b sa 4b.

$$-2b+24=18$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2b=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$b=3$$

I-substitute ang 3 para sa b sa a=-2b+8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-2\times 3+8$$

I-multiply ang -2 times 3.

$$a=-6+8$$

Idagdag ang 8 sa -6.

$$a=2$$

Nalutas na ang system.

$$a=2,b=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$a+2b=8,3a+4b=18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 8+18\\\frac{3}{2}\times 8-\frac{1}{2}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=2,b=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$a+2b=8,3a+4b=18$$

Para gawing magkatumbas ang a at 3a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3a+3\times 2b=3\times 8,3a+4b=18$$

Pasimplehin.

$$3a+6b=24,3a+4b=18$$

I-subtract ang 3a+4b=18 mula sa 3a+6b=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3a-3a+6b-4b=24-18$$

Idagdag ang 3a sa -3a. Naka-cancel out ang term na 3a at -3a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6b-4b=24-18$$

Idagdag ang 6b sa -4b.

$$2b=24-18$$

Idagdag ang 24 sa -18.

$$2b=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$b=3$$

I-substitute ang 3 para sa b sa 3a+4b=18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$3a+4\times 3=18$$

I-multiply ang 4 times 3.

$$3a+12=18$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=2$$

Nalutas na ang system.

$$a=2,b=3$$