Lutasin ang {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang m, n

$$m=1$$

$$n=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa m sa pamamagitan ng pag-isolate sa m sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$9m-13n=22$$

Idagdag ang 13n sa magkabilang dulo ng equation.

$$9m=13n+22$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times 13n+22.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

I-substitute ang \frac{13n+22}{9} para sa m sa kabilang equation na 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

I-multiply ang 2 times \frac{13n+22}{9}.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

Idagdag ang \frac{26n}{9} sa 3n.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

I-subtract ang \frac{44}{9} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{53}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$n=-1$$

I-substitute ang -1 para sa n sa m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

I-multiply ang \frac{13}{9} times -1.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

Idagdag ang \frac{22}{9} sa -\frac{13}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=1$$

Nalutas na ang system.

$$m=1,n=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na m at n.

$$m=1,n=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Para gawing magkatumbas ang 9m at 2m, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 9.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

I-subtract ang 18m+27n=-9 mula sa 18m-26n=44 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

Idagdag ang 18m sa -18m. Naka-cancel out ang term na 18m at -18m ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-26n-27n=44+9$$

Idagdag ang -26n sa -27n.

$$-53n=44+9$$

Idagdag ang 44 sa 9.

$$-53n=53$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -53.

$$n=-1$$

I-substitute ang -1 para sa n sa 2m+3n=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

I-multiply ang 3 times -1.

$$2m-3=-1$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2m=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$m=1$$

Nalutas na ang system.

$$m=1,n=-1$$