Lutasin ang {l}{8x-4y=2}{2x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{15}{16}=0.9375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x-4y=2$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=4y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(4y+2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times 4y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{y}{2}+\frac{1}{4} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=6.

$$2\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=6$$

I-multiply ang 2 times \frac{y}{2}+\frac{1}{4}.

$$y+\frac{1}{2}+3y=6$$

Idagdag ang y sa 3y.

$$4y+\frac{1}{2}=6$$

I-subtract ang \frac{1}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=\frac{11}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=\frac{11}{8}$$

I-substitute ang \frac{11}{8} para sa y sa x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{1}{4}$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times \frac{11}{8} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{11}{16}+\frac{1}{4}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa \frac{11}{16} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{15}{16}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 2+\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$2\times 8x+2\left(-4\right)y=2\times 2,8\times 2x+8\times 3y=8\times 6$$

Pasimplehin.

$$16x-8y=4,16x+24y=48$$

I-subtract ang 16x+24y=48 mula sa 16x-8y=4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$16x-16x-8y-24y=4-48$$

Idagdag ang 16x sa -16x. Naka-cancel out ang term na 16x at -16x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y-24y=4-48$$

Idagdag ang -8y sa -24y.

$$-32y=4-48$$

Idagdag ang 4 sa -48.

$$-32y=-44$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -32.

$$y=\frac{11}{8}$$

I-substitute ang \frac{11}{8} para sa y sa 2x+3y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3\times \frac{11}{8}=6$$

I-multiply ang 3 times \frac{11}{8}.

$$2x+\frac{33}{8}=6$$

I-subtract ang \frac{33}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{15}{8}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{15}{16}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$