Lutasin ang {l}{8x+y=32}{4x+3y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + y = 32 } \\ { 4 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{39}{10} = 3\frac{9}{10} = 3.9$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x+y=32$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-y+32$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+32\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -y+32.

$$x=-\frac{1}{8}y+4$$

I-substitute ang -\frac{y}{8}+4 para sa x sa kabilang equation na 4x+3y=18.

$$4\left(-\frac{1}{8}y+4\right)+3y=18$$

I-multiply ang 4 times -\frac{y}{8}+4.

$$-\frac{1}{2}y+16+3y=18$$

Idagdag ang -\frac{y}{2} sa 3y.

$$\frac{5}{2}y+16=18$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{2}y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{4}{5}$$

I-substitute ang \frac{4}{5} para sa y sa x=-\frac{1}{8}y+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{4}{5}+4$$

I-multiply ang -\frac{1}{8} times \frac{4}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{1}{10}+4$$

Idagdag ang 4 sa -\frac{1}{10}.

$$x=\frac{39}{10}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-4}&-\frac{1}{8\times 3-4}\\-\frac{4}{8\times 3-4}&\frac{8}{8\times 3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&-\frac{1}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 32-\frac{1}{20}\times 18\\-\frac{1}{5}\times 32+\frac{2}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{10}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$4\times 8x+4y=4\times 32,8\times 4x+8\times 3y=8\times 18$$

Pasimplehin.

$$32x+4y=128,32x+24y=144$$

I-subtract ang 32x+24y=144 mula sa 32x+4y=128 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$32x-32x+4y-24y=128-144$$

Idagdag ang 32x sa -32x. Naka-cancel out ang term na 32x at -32x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y-24y=128-144$$

Idagdag ang 4y sa -24y.

$$-20y=128-144$$

Idagdag ang 128 sa -144.

$$-20y=-16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -20.

$$y=\frac{4}{5}$$

I-substitute ang \frac{4}{5} para sa y sa 4x+3y=18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+3\times \frac{4}{5}=18$$

I-multiply ang 3 times \frac{4}{5}.

$$4x+\frac{12}{5}=18$$

I-subtract ang \frac{12}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=\frac{78}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{39}{10}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$