Lutasin ang {l}{8x+3y=-7}{2x+3y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = - 7 } \\ { 2 x + 3 y = 23 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-5$$

$$y=11$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x+3y=-7,2x+3y=23$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x+3y=-7$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-3y-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y-7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -3y-7.

$$x=-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}$$

I-substitute ang \frac{-3y-7}{8} para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=23.

$$2\left(-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}\right)+3y=23$$

I-multiply ang 2 times \frac{-3y-7}{8}.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}+3y=23$$

Idagdag ang -\frac{3y}{4} sa 3y.

$$\frac{9}{4}y-\frac{7}{4}=23$$

Idagdag ang \frac{7}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{9}{4}y=\frac{99}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{9}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=11$$

I-substitute ang 11 para sa y sa x=-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{8}\times 11-\frac{7}{8}$$

I-multiply ang -\frac{3}{8} times 11.

$$x=\frac{-33-7}{8}$$

Idagdag ang -\frac{7}{8} sa -\frac{33}{8} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=11$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x+3y=-7,2x+3y=23$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\23\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\23\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\23\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\23\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-3\times 2}&-\frac{3}{8\times 3-3\times 2}\\-\frac{2}{8\times 3-3\times 2}&\frac{8}{8\times 3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\23\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\23\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-7\right)-\frac{1}{6}\times 23\\-\frac{1}{9}\left(-7\right)+\frac{4}{9}\times 23\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-5,y=11$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x+3y=-7,2x+3y=23$$

I-subtract ang 2x+3y=23 mula sa 8x+3y=-7 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-2x+3y-3y=-7-23$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8x-2x=-7-23$$

Idagdag ang 8x sa -2x.

$$6x=-7-23$$

Idagdag ang -7 sa -23.

$$6x=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=-5$$

I-substitute ang -5 para sa x sa 2x+3y=23. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2\left(-5\right)+3y=23$$

I-multiply ang 2 times -5.

$$-10+3y=23$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=33$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=11$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=11$$