Lutasin ang {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

I-solve ang k, a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa k sa pamamagitan ng pag-isolate sa k sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8k+a=3650$$

I-subtract ang a mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8k=-a+3650$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

I-substitute ang -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} para sa k sa kabilang equation na 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

I-multiply ang 15 times -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

Idagdag ang -\frac{15a}{8} sa a.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

I-subtract ang \frac{27375}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{8}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$a=7650$$

I-substitute ang 7650 para sa a sa k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang k nang direkta.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

I-multiply ang -\frac{1}{8} times 7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

Idagdag ang \frac{1825}{4} sa -\frac{3825}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$k=-500$$

Nalutas na ang system.

$$k=-500,a=7650$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na k at a.

$$k=-500,a=7650$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

I-subtract ang 15k+a=150 mula sa 8k+a=3650 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

Idagdag ang a sa -a. Naka-cancel out ang term na a at -a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8k-15k=3650-150$$

Idagdag ang 8k sa -15k.

$$-7k=3650-150$$

Idagdag ang 3650 sa -150.

$$-7k=3500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$k=-500$$

I-substitute ang -500 para sa k sa 15k+a=150. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

I-multiply ang 15 times -500.

$$-7500+a=150$$

Idagdag ang 7500 sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=7650$$

Nalutas na ang system.

$$k=-500,a=7650$$