Lutasin ang {l}{7x-5y=2}{5x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 5 y = 2 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x-5y=2,5x-3y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x-5y=2$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=5y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(5y+2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times 5y+2.

$$x=\frac{5}{7}y+\frac{2}{7}$$

I-substitute ang \frac{5y+2}{7} para sa x sa kabilang equation na 5x-3y=3.

$$5\left(\frac{5}{7}y+\frac{2}{7}\right)-3y=3$$

I-multiply ang 5 times \frac{5y+2}{7}.

$$\frac{25}{7}y+\frac{10}{7}-3y=3$$

Idagdag ang \frac{25y}{7} sa -3y.

$$\frac{4}{7}y+\frac{10}{7}=3$$

I-subtract ang \frac{10}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{4}{7}y=\frac{11}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{4}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{11}{4}$$

I-substitute ang \frac{11}{4} para sa y sa x=\frac{5}{7}y+\frac{2}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{7}\times \frac{11}{4}+\frac{2}{7}$$

I-multiply ang \frac{5}{7} times \frac{11}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{55}{28}+\frac{2}{7}$$

Idagdag ang \frac{2}{7} sa \frac{55}{28} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{9}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{11}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x-5y=2,5x-3y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}&\frac{7}{7\left(-3\right)-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\-\frac{5}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{4}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 2+\frac{7}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{11}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x-5y=2,5x-3y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$5\times 7x+5\left(-5\right)y=5\times 2,7\times 5x+7\left(-3\right)y=7\times 3$$

Pasimplehin.

$$35x-25y=10,35x-21y=21$$

I-subtract ang 35x-21y=21 mula sa 35x-25y=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$35x-35x-25y+21y=10-21$$

Idagdag ang 35x sa -35x. Naka-cancel out ang term na 35x at -35x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-25y+21y=10-21$$

Idagdag ang -25y sa 21y.

$$-4y=10-21$$

Idagdag ang 10 sa -21.

$$-4y=-11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=\frac{11}{4}$$

I-substitute ang \frac{11}{4} para sa y sa 5x-3y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-3\times \frac{11}{4}=3$$

I-multiply ang -3 times \frac{11}{4}.

$$5x-\frac{33}{4}=3$$

Idagdag ang \frac{33}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{45}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{9}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{11}{4}$$