Lutasin ang {l}{7x-2y=30}{5x+2y=-156}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 2 y = 30 } \\ { 5 x + 2 y = - 156 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10.5$$

$$y = -\frac{207}{4} = -51\frac{3}{4} = -51.75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x-2y=30,5x+2y=-156$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x-2y=30$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=2y+30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(2y+30\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times 30+2y.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{30}{7}$$

I-substitute ang \frac{30+2y}{7} para sa x sa kabilang equation na 5x+2y=-156.

$$5\left(\frac{2}{7}y+\frac{30}{7}\right)+2y=-156$$

I-multiply ang 5 times \frac{30+2y}{7}.

$$\frac{10}{7}y+\frac{150}{7}+2y=-156$$

Idagdag ang \frac{10y}{7} sa 2y.

$$\frac{24}{7}y+\frac{150}{7}=-156$$

I-subtract ang \frac{150}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{24}{7}y=-\frac{1242}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{24}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{207}{4}$$

I-substitute ang -\frac{207}{4} para sa y sa x=\frac{2}{7}y+\frac{30}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{7}\left(-\frac{207}{4}\right)+\frac{30}{7}$$

I-multiply ang \frac{2}{7} times -\frac{207}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{207}{14}+\frac{30}{7}$$

Idagdag ang \frac{30}{7} sa -\frac{207}{14} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{21}{2},y=-\frac{207}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x-2y=30,5x+2y=-156$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{7\times 2-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{7\times 2-\left(-2\times 5\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{5}{24}&\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-156\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 30+\frac{1}{12}\left(-156\right)\\-\frac{5}{24}\times 30+\frac{7}{24}\left(-156\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{2}\\-\frac{207}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{21}{2},y=-\frac{207}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x-2y=30,5x+2y=-156$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$5\times 7x+5\left(-2\right)y=5\times 30,7\times 5x+7\times 2y=7\left(-156\right)$$

Pasimplehin.

$$35x-10y=150,35x+14y=-1092$$

I-subtract ang 35x+14y=-1092 mula sa 35x-10y=150 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$35x-35x-10y-14y=150+1092$$

Idagdag ang 35x sa -35x. Naka-cancel out ang term na 35x at -35x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-10y-14y=150+1092$$

Idagdag ang -10y sa -14y.

$$-24y=150+1092$$

Idagdag ang 150 sa 1092.

$$-24y=1242$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -24.

$$y=-\frac{207}{4}$$

I-substitute ang -\frac{207}{4} para sa y sa 5x+2y=-156. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+2\left(-\frac{207}{4}\right)=-156$$

I-multiply ang 2 times -\frac{207}{4}.

$$5x-\frac{207}{2}=-156$$

Idagdag ang \frac{207}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-\frac{105}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{21}{2},y=-\frac{207}{4}$$