Lutasin ang {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Idagdag ang -6 at 5 para makuha ang -1.

$$2x-1=y-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-1-y=-1$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$2x-y=-1+1$$

Idagdag ang -1 at 1 para makuha ang 0.

$$2x-y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+18y=43$$

I-subtract ang 18y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-18y+43$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

I-substitute ang \frac{-18y+43}{7} para sa x sa kabilang equation na 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

I-multiply ang 2 times \frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

Idagdag ang -\frac{36y}{7} sa -y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

I-subtract ang \frac{86}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{43}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

I-multiply ang -\frac{18}{7} times 2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Idagdag ang \frac{43}{7} sa -\frac{36}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Idagdag ang -6 at 5 para makuha ang -1.

$$2x-1=y-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-1-y=-1$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$2x-y=-1+1$$

Idagdag ang -1 at 1 para makuha ang 0.

$$2x-y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Idagdag ang -6 at 5 para makuha ang -1.

$$2x-1=y-1$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-1-y=-1$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$2x-y=-1+1$$

Idagdag ang -1 at 1 para makuha ang 0.

$$2x-y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Pasimplehin.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

I-subtract ang 14x-7y=0 mula sa 14x+36y=86 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

Idagdag ang 14x sa -14x. Naka-cancel out ang term na 14x at -14x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$36y+7y=86$$

Idagdag ang 36y sa 7y.

$$43y=86$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 43.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 2x-y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-2=0$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=2$$