Lutasin ang {l}{7x+1y=204}{x+y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 1 y = 204 } \\ { x + y = 24 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=30$$

$$y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+y=204,x+y=24$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+y=204$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-y+204$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y+204\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -y+204.

$$x=-\frac{1}{7}y+\frac{204}{7}$$

I-substitute ang \frac{-y+204}{7} para sa x sa kabilang equation na x+y=24.

$$-\frac{1}{7}y+\frac{204}{7}+y=24$$

Idagdag ang -\frac{y}{7} sa y.

$$\frac{6}{7}y+\frac{204}{7}=24$$

I-subtract ang \frac{204}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{6}{7}y=-\frac{36}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{6}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-6$$

I-substitute ang -6 para sa y sa x=-\frac{1}{7}y+\frac{204}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{204}{7}$$

I-multiply ang -\frac{1}{7} times -6.

$$x=\frac{6+204}{7}$$

Idagdag ang \frac{204}{7} sa \frac{6}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=30$$

Nalutas na ang system.

$$x=30,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+y=204,x+y=24$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-1}&-\frac{1}{7-1}\\-\frac{1}{7-1}&\frac{7}{7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 204-\frac{1}{6}\times 24\\-\frac{1}{6}\times 204+\frac{7}{6}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=30,y=-6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+y=204,x+y=24$$

I-subtract ang x+y=24 mula sa 7x+y=204 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$7x-x+y-y=204-24$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7x-x=204-24$$

Idagdag ang 7x sa -x.

$$6x=204-24$$

Idagdag ang 204 sa -24.

$$6x=180$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=30$$

I-substitute ang 30 para sa x sa x+y=24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$30+y=24$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-6$$

Nalutas na ang system.

$$x=30,y=-6$$