Lutasin ang {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7a-10b=-64$$

Idagdag ang 10b sa magkabilang dulo ng equation.

$$7a=10b-64$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times 10b-64.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

I-substitute ang \frac{10b-64}{7} para sa a sa kabilang equation na 3a+5b=19.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

I-multiply ang 3 times \frac{10b-64}{7}.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

Idagdag ang \frac{30b}{7} sa 5b.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

Idagdag ang \frac{192}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{65}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=5$$

I-substitute ang 5 para sa b sa a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

I-multiply ang \frac{10}{7} times 5.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

Idagdag ang -\frac{64}{7} sa \frac{50}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=-2$$

Nalutas na ang system.

$$a=-2,b=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=-2,b=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Para gawing magkatumbas ang 7a at 3a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

Pasimplehin.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

I-subtract ang 21a+35b=133 mula sa 21a-30b=-192 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

Idagdag ang 21a sa -21a. Naka-cancel out ang term na 21a at -21a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-30b-35b=-192-133$$

Idagdag ang -30b sa -35b.

$$-65b=-192-133$$

Idagdag ang -192 sa -133.

$$-65b=-325$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -65.

$$b=5$$

I-substitute ang 5 para sa b sa 3a+5b=19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$3a+5\times 5=19$$

I-multiply ang 5 times 5.

$$3a+25=19$$

I-subtract ang 25 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=-2$$

Nalutas na ang system.

$$a=-2,b=5$$