Lutasin ang {l}{6x-y=5}{4x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - y = 5 } \\ { 4 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x-y=5,4x-y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x-y=5$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times y+5.

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{6}$$

I-substitute ang \frac{5+y}{6} para sa x sa kabilang equation na 4x-y=1.

$$4\left(\frac{1}{6}y+\frac{5}{6}\right)-y=1$$

I-multiply ang 4 times \frac{5+y}{6}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y=1$$

Idagdag ang \frac{2y}{3} sa -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=1$$

I-subtract ang \frac{10}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{7}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{6}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{6}\times 7+\frac{5}{6}$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times 7.

$$x=\frac{7+5}{6}$$

Idagdag ang \frac{5}{6} sa \frac{7}{6} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x-y=5,4x-y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{6}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\\2\times 5-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x-y=5,4x-y=1$$

I-subtract ang 4x-y=1 mula sa 6x-y=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-4x-y+y=5-1$$

Idagdag ang -y sa y. Naka-cancel out ang term na -y at y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6x-4x=5-1$$

Idagdag ang 6x sa -4x.

$$2x=5-1$$

Idagdag ang 5 sa -1.

$$2x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa 4x-y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$4\times 2-y=1$$

I-multiply ang 4 times 2.

$$8-y=1$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=7$$