Lutasin ang {l}{6x-5y=3}{3x+2y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444444444$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x-5y=3$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=5y+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times 5y+3.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{5y}{6}+\frac{1}{2} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=12.

$$3\left(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}\right)+2y=12$$

I-multiply ang 3 times \frac{5y}{6}+\frac{1}{2}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+2y=12$$

Idagdag ang \frac{5y}{2} sa 2y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=12$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{9}{2}y=\frac{21}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{9}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{7}{3}$$

I-substitute ang \frac{7}{3} para sa y sa x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang \frac{5}{6} times \frac{7}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{35}{18} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{22}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{2}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{9}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\times 3,6\times 3x+6\times 2y=6\times 12$$

Pasimplehin.

$$18x-15y=9,18x+12y=72$$

I-subtract ang 18x+12y=72 mula sa 18x-15y=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18x-18x-15y-12y=9-72$$

Idagdag ang 18x sa -18x. Naka-cancel out ang term na 18x at -18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-15y-12y=9-72$$

Idagdag ang -15y sa -12y.

$$-27y=9-72$$

Idagdag ang 9 sa -72.

$$-27y=-63$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -27.

$$y=\frac{7}{3}$$

I-substitute ang \frac{7}{3} para sa y sa 3x+2y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times \frac{7}{3}=12$$

I-multiply ang 2 times \frac{7}{3}.

$$3x+\frac{14}{3}=12$$

I-subtract ang \frac{14}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{22}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{22}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$