Lutasin ang {l}{6x-5y=23}{7x+3y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 23 } \\ { 7 x + 3 y = 71 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=8$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x-5y=23,7x+3y=71$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x-5y=23$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=5y+23$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+23\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times 5y+23.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}$$

I-substitute ang \frac{5y+23}{6} para sa x sa kabilang equation na 7x+3y=71.

$$7\left(\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)+3y=71$$

I-multiply ang 7 times \frac{5y+23}{6}.

$$\frac{35}{6}y+\frac{161}{6}+3y=71$$

Idagdag ang \frac{35y}{6} sa 3y.

$$\frac{53}{6}y+\frac{161}{6}=71$$

I-subtract ang \frac{161}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{53}{6}y=\frac{265}{6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{53}{6}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{23}{6}$$

I-multiply ang \frac{5}{6} times 5.

$$x=\frac{25+23}{6}$$

Idagdag ang \frac{23}{6} sa \frac{25}{6} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x-5y=23,7x+3y=71$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{6\times 3-\left(-5\times 7\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\\-\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\71\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 23+\frac{5}{53}\times 71\\-\frac{7}{53}\times 23+\frac{6}{53}\times 71\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=8,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x-5y=23,7x+3y=71$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$7\times 6x+7\left(-5\right)y=7\times 23,6\times 7x+6\times 3y=6\times 71$$

Pasimplehin.

$$42x-35y=161,42x+18y=426$$

I-subtract ang 42x+18y=426 mula sa 42x-35y=161 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$42x-42x-35y-18y=161-426$$

Idagdag ang 42x sa -42x. Naka-cancel out ang term na 42x at -42x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-35y-18y=161-426$$

Idagdag ang -35y sa -18y.

$$-53y=161-426$$

Idagdag ang 161 sa -426.

$$-53y=-265$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -53.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa 7x+3y=71. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x+3\times 5=71$$

I-multiply ang 3 times 5.

$$7x+15=71$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=56$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=5$$