Lutasin ang {l}{6x+7y=-19}{6x-5y=17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 7 y = - 19 } \\ { 6 x - 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+7y=-19,6x-5y=17$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+7y=-19$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-7y-19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-7y-19\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -7y-19.

$$x=-\frac{7}{6}y-\frac{19}{6}$$

I-substitute ang \frac{-7y-19}{6} para sa x sa kabilang equation na 6x-5y=17.

$$6\left(-\frac{7}{6}y-\frac{19}{6}\right)-5y=17$$

I-multiply ang 6 times \frac{-7y-19}{6}.

$$-7y-19-5y=17$$

Idagdag ang -7y sa -5y.

$$-12y-19=17$$

Idagdag ang 19 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-12y=36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=-\frac{7}{6}y-\frac{19}{6}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{6}\left(-3\right)-\frac{19}{6}$$

I-multiply ang -\frac{7}{6} times -3.

$$x=\frac{7}{2}-\frac{19}{6}$$

Idagdag ang -\frac{19}{6} sa \frac{7}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{3},y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+7y=-19,6x-5y=17$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-7\times 6}&-\frac{7}{6\left(-5\right)-7\times 6}\\-\frac{6}{6\left(-5\right)-7\times 6}&\frac{6}{6\left(-5\right)-7\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{72}&\frac{7}{72}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{72}\left(-19\right)+\frac{7}{72}\times 17\\\frac{1}{12}\left(-19\right)-\frac{1}{12}\times 17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{3},y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+7y=-19,6x-5y=17$$

I-subtract ang 6x-5y=17 mula sa 6x+7y=-19 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+7y+5y=-19-17$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7y+5y=-19-17$$

Idagdag ang 7y sa 5y.

$$12y=-19-17$$

Idagdag ang -19 sa -17.

$$12y=-36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa 6x-5y=17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-5\left(-3\right)=17$$

I-multiply ang -5 times -3.

$$6x+15=17$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{3},y=-3$$