Lutasin ang {l}{6x+5y=1}{x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 1 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+5y=1$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-5y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -5y+1.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}$$

I-substitute ang \frac{-5y+1}{6} para sa x sa kabilang equation na x-y=2.

$$-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}-y=2$$

Idagdag ang -\frac{5y}{6} sa -y.

$$-\frac{11}{6}y+\frac{1}{6}=2$$

I-subtract ang \frac{1}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{11}{6}y=\frac{11}{6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{11}{6}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}$$

I-multiply ang -\frac{5}{6} times -1.

$$x=\frac{5+1}{6}$$

Idagdag ang \frac{1}{6} sa \frac{5}{6} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{6\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&\frac{6}{6\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}+\frac{5}{11}\times 2\\\frac{1}{11}-\frac{6}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$6x+5y=1,6x+6\left(-1\right)y=6\times 2$$

Pasimplehin.

$$6x+5y=1,6x-6y=12$$

I-subtract ang 6x-6y=12 mula sa 6x+5y=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+5y+6y=1-12$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y+6y=1-12$$

Idagdag ang 5y sa 6y.

$$11y=1-12$$

Idagdag ang 1 sa -12.

$$11y=-11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x-y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-\left(-1\right)=2$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$