Lutasin ang {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+2y=300$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-2y+300$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -2y+300.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

I-substitute ang -\frac{y}{3}+50 para sa x sa kabilang equation na 3x+5y=600.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

I-multiply ang 3 times -\frac{y}{3}+50.

$$-y+150+5y=600$$

Idagdag ang -y sa 5y.

$$4y+150=600$$

I-subtract ang 150 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=450$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=\frac{225}{2}$$

I-substitute ang \frac{225}{2} para sa y sa x=-\frac{1}{3}y+50. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times \frac{225}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

Idagdag ang 50 sa -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{25}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

Pasimplehin.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

I-subtract ang 18x+30y=3600 mula sa 18x+6y=900 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

Idagdag ang 18x sa -18x. Naka-cancel out ang term na 18x at -18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y-30y=900-3600$$

Idagdag ang 6y sa -30y.

$$-24y=900-3600$$

Idagdag ang 900 sa -3600.

$$-24y=-2700$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -24.

$$y=\frac{225}{2}$$

I-substitute ang \frac{225}{2} para sa y sa 3x+5y=600. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

I-multiply ang 5 times \frac{225}{2}.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

I-subtract ang \frac{1125}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{75}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{25}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$