Lutasin ang {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+15y=360$$

I-subtract ang 15y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-15y+360$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

I-substitute ang -\frac{5y}{2}+60 para sa x sa kabilang equation na 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

I-multiply ang 8 times -\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

Idagdag ang -20y sa 10y.

$$-10y+480=440$$

I-subtract ang 480 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10y=-40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=-\frac{5}{2}y+60. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times 4.

$$x=-10+60$$

Idagdag ang 60 sa -10.

$$x=50$$

Nalutas na ang system.

$$x=50,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=50,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Pasimplehin.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

I-subtract ang 48x+60y=2640 mula sa 48x+120y=2880 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

Idagdag ang 48x sa -48x. Naka-cancel out ang term na 48x at -48x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$120y-60y=2880-2640$$

Idagdag ang 120y sa -60y.

$$60y=2880-2640$$

Idagdag ang 2880 sa -2640.

$$60y=240$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 60.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa 8x+10y=440. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x+10\times 4=440$$

I-multiply ang 10 times 4.

$$8x+40=440$$

I-subtract ang 40 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=400$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=50$$

Nalutas na ang system.

$$x=50,y=4$$