Lutasin ang {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa u sa pamamagitan ng pag-isolate sa u sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6u+4v=5$$

I-subtract ang 4v mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6u=-4v+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

I-substitute ang -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} para sa u sa kabilang equation na 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

I-multiply ang 9 times -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

Idagdag ang -6v sa -8v.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

I-subtract ang \frac{15}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -14.

$$v=\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{1}{4} para sa v sa u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang u nang direkta.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times \frac{1}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Idagdag ang \frac{5}{6} sa -\frac{1}{6} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$u=\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na u at v.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Para gawing magkatumbas ang 6u at 9u, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Pasimplehin.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

I-subtract ang 54u-48v=24 mula sa 54u+36v=45 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

Idagdag ang 54u sa -54u. Naka-cancel out ang term na 54u at -54u ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$36v+48v=45-24$$

Idagdag ang 36v sa 48v.

$$84v=45-24$$

Idagdag ang 45 sa -24.

$$84v=21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 84.

$$v=\frac{1}{4}$$

I-substitute ang \frac{1}{4} para sa v sa 9u-8v=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang u nang direkta.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

I-multiply ang -8 times \frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$9u=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$u=\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$