Lutasin ang {l}{500=10k+b}{900=20k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 500 = 10 k + b } \\ { 900 = 20 k + b } \end{array} \right.$$

I-solve ang k, b

$$k=40$$

$$b=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$10k+b=500$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$20k+b=900$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10k+b=500,20k+b=900$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa k sa pamamagitan ng pag-isolate sa k sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10k+b=500$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10k=-b+500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$k=\frac{1}{10}\left(-b+500\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times -b+500.

$$k=-\frac{1}{10}b+50$$

I-substitute ang -\frac{b}{10}+50 para sa k sa kabilang equation na 20k+b=900.

$$20\left(-\frac{1}{10}b+50\right)+b=900$$

I-multiply ang 20 times -\frac{b}{10}+50.

$$-2b+1000+b=900$$

Idagdag ang -2b sa b.

$$-b+1000=900$$

I-subtract ang 1000 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-b=-100$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$b=100$$

I-substitute ang 100 para sa b sa k=-\frac{1}{10}b+50. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang k nang direkta.

$$k=-\frac{1}{10}\times 100+50$$

I-multiply ang -\frac{1}{10} times 100.

$$k=-10+50$$

Idagdag ang 50 sa -10.

$$k=40$$

Nalutas na ang system.

$$k=40,b=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$10k+b=500$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$20k+b=900$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10k+b=500,20k+b=900$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-20}&-\frac{1}{10-20}\\-\frac{20}{10-20}&\frac{10}{10-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 500+\frac{1}{10}\times 900\\2\times 500-900\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\100\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na k at b.

$$k=40,b=100$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$10k+b=500$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$20k+b=900$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10k+b=500,20k+b=900$$

I-subtract ang 20k+b=900 mula sa 10k+b=500 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10k-20k+b-b=500-900$$

Idagdag ang b sa -b. Naka-cancel out ang term na b at -b ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10k-20k=500-900$$

Idagdag ang 10k sa -20k.

$$-10k=500-900$$

Idagdag ang 500 sa -900.

$$-10k=-400$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$k=40$$

I-substitute ang 40 para sa k sa 20k+b=900. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang b nang direkta.

$$20\times 40+b=900$$

I-multiply ang 20 times 40.

$$800+b=900$$

I-subtract ang 800 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$b=100$$

Nalutas na ang system.

$$k=40,b=100$$