Lutasin ang {l}{5x-y=9}{2x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 9 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-y=9$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times y+9.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

I-substitute ang \frac{9+y}{5} para sa x sa kabilang equation na 2x+4y=8.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)+4y=8$$

I-multiply ang 2 times \frac{9+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{18}{5}+4y=8$$

Idagdag ang \frac{2y}{5} sa 4y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{18}{5}=8$$

I-subtract ang \frac{18}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{22}{5}y=\frac{22}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{22}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1+9}{5}$$

Idagdag ang \frac{9}{5} sa \frac{1}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\times 4-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 9+\frac{1}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 9+\frac{5}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 9,5\times 2x+5\times 4y=5\times 8$$

Pasimplehin.

$$10x-2y=18,10x+20y=40$$

I-subtract ang 10x+20y=40 mula sa 10x-2y=18 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x-2y-20y=18-40$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y-20y=18-40$$

Idagdag ang -2y sa -20y.

$$-22y=18-40$$

Idagdag ang 18 sa -40.

$$-22y=-22$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -22.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 2x+4y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+4=8$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=1$$