Lutasin ang {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{5}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-y=5$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times y+5.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

I-substitute ang \frac{y}{5}+1 para sa x sa kabilang equation na -\frac{1}{5}x+y=0.

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times \frac{y}{5}+1.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

Idagdag ang -\frac{y}{25} sa y.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

Idagdag ang \frac{1}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{24}{25}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{5}{24}$$

I-substitute ang \frac{5}{24} para sa y sa x=\frac{1}{5}y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times \frac{5}{24} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{1}{24}.

$$x=\frac{25}{24}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{5}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{5}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -\frac{x}{5}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -\frac{1}{5} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

Pasimplehin.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

I-subtract ang -x+5y=0 mula sa -x+\frac{1}{5}y=-1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Idagdag ang -x sa x. Naka-cancel out ang term na -x at x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Idagdag ang \frac{y}{5} sa -5y.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{24}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{5}{24}$$

I-substitute ang \frac{5}{24} para sa y sa -\frac{1}{5}x+y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

I-subtract ang \frac{5}{24} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=\frac{25}{24}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$