Lutasin ang {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 19y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-4y-19y=0$$

Pagsamahin ang -4y at -19y para makuha ang -23y.

$$5x-23y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-23y=0$$

Idagdag ang 23y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=23y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

I-substitute ang \frac{23y}{5} para sa x sa kabilang equation na 5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

I-multiply ang 5 times \frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

Idagdag ang 23y sa 2y.

$$25y=71$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$y=\frac{71}{25}$$

I-substitute ang \frac{71}{25} para sa y sa x=\frac{23}{5}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

I-multiply ang \frac{23}{5} times \frac{71}{25} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 19y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-4y-19y=0$$

Pagsamahin ang -4y at -19y para makuha ang -23y.

$$5x-23y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 19y mula sa magkabilang dulo.

$$5x-4y-19y=0$$

Pagsamahin ang -4y at -19y para makuha ang -23y.

$$5x-23y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

I-subtract ang 5x+2y=71 mula sa 5x-23y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-23y-2y=-71$$

Idagdag ang -23y sa -2y.

$$-25y=-71$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -25.

$$y=\frac{71}{25}$$

I-substitute ang \frac{71}{25} para sa y sa 5x+2y=71. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

I-multiply ang 2 times \frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

I-subtract ang \frac{142}{25} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$