Lutasin ang {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-4y=11$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=4y+11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 4y+11.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

I-substitute ang \frac{4y+11}{5} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=7.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

I-multiply ang 3 times \frac{4y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

Idagdag ang \frac{12y}{5} sa 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

I-subtract ang \frac{33}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{22}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{1}{11}$$

I-substitute ang \frac{1}{11} para sa y sa x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

I-multiply ang \frac{4}{5} times \frac{1}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

Idagdag ang \frac{11}{5} sa \frac{4}{55} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{25}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

Pasimplehin.

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

I-subtract ang 15x+10y=35 mula sa 15x-12y=33 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12y-10y=33-35$$

Idagdag ang -12y sa -10y.

$$-22y=33-35$$

Idagdag ang 33 sa -35.

$$-22y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -22.

$$y=\frac{1}{11}$$

I-substitute ang \frac{1}{11} para sa y sa 3x+2y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

I-multiply ang 2 times \frac{1}{11}.

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

I-subtract ang \frac{2}{11} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{75}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{25}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$