Lutasin ang {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-4y=-3$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=4y-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 4y-3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

I-substitute ang \frac{4y-3}{5} para sa x sa kabilang equation na 3x-4y=-13.

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

I-multiply ang 3 times \frac{4y-3}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

Idagdag ang \frac{12y}{5} sa -4y.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

Idagdag ang \frac{9}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{8}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

I-multiply ang \frac{4}{5} times 7.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

Idagdag ang -\frac{3}{5} sa \frac{28}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

I-subtract ang 3x-4y=-13 mula sa 5x-4y=-3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

Idagdag ang -4y sa 4y. Naka-cancel out ang term na -4y at 4y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5x-3x=-3+13$$

Idagdag ang 5x sa -3x.

$$2x=-3+13$$

Idagdag ang -3 sa 13.

$$2x=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=5$$

I-substitute ang 5 para sa x sa 3x-4y=-13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$3\times 5-4y=-13$$

I-multiply ang 3 times 5.

$$15-4y=-13$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4y=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=7$$