Lutasin ang {l}{5x-2y=4}{x/2+y/3=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 4 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-2y=4$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=2y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

I-substitute ang \frac{4+2y}{5} para sa x sa kabilang equation na \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{3}y=2$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times \frac{4+2y}{5}.

$$\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}+\frac{1}{3}y=2$$

Idagdag ang \frac{y}{5} sa \frac{y}{3}.

$$\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}=2$$

I-subtract ang \frac{2}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{8}{15}y=\frac{8}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{8}{15}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{4}{5}$$

I-multiply ang \frac{2}{5} times 3.

$$x=\frac{6+4}{5}$$

Idagdag ang \frac{4}{5} sa \frac{6}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-2}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{5}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{15}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 4+\frac{3}{4}\times 2\\-\frac{3}{16}\times 4+\frac{15}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at \frac{x}{2}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{1}{2} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$\frac{1}{2}\times 5x+\frac{1}{2}\left(-2\right)y=\frac{1}{2}\times 4,5\times \frac{1}{2}x+5\times \frac{1}{3}y=5\times 2$$

Pasimplehin.

$$\frac{5}{2}x-y=2,\frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10$$

I-subtract ang \frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10 mula sa \frac{5}{2}x-y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}x-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

Idagdag ang \frac{5x}{2} sa -\frac{5x}{2}. Naka-cancel out ang term na \frac{5x}{2} at -\frac{5x}{2} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-y-\frac{5}{3}y=2-10$$

Idagdag ang -y sa -\frac{5y}{3}.

$$-\frac{8}{3}y=2-10$$

Idagdag ang 2 sa -10.

$$-\frac{8}{3}y=-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{8}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times 3=2$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 3.

$$\frac{1}{2}x+1=2$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}x=1$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$