Lutasin ang {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-2y=14$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=2y+14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 14+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

I-substitute ang \frac{14+2y}{5} para sa x sa kabilang equation na 3x+7y=21.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

I-multiply ang 3 times \frac{14+2y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

Idagdag ang \frac{6y}{5} sa 7y.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

I-subtract ang \frac{42}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{41}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{63}{41}$$

I-substitute ang \frac{63}{41} para sa y sa x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

I-multiply ang \frac{2}{5} times \frac{63}{41} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

Idagdag ang \frac{14}{5} sa \frac{126}{205} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{140}{41}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

Pasimplehin.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

I-subtract ang 15x+35y=105 mula sa 15x-6y=42 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-6y-35y=42-105$$

Idagdag ang -6y sa -35y.

$$-41y=42-105$$

Idagdag ang 42 sa -105.

$$-41y=-63$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -41.

$$y=\frac{63}{41}$$

I-substitute ang \frac{63}{41} para sa y sa 3x+7y=21. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

I-multiply ang 7 times \frac{63}{41}.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

I-subtract ang \frac{441}{41} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{420}{41}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{140}{41}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$