Lutasin ang {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+y=35$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-y+35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -y+35.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

I-substitute ang -\frac{y}{5}+7 para sa x sa kabilang equation na 7x+1.1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1.1y=40$$

I-multiply ang 7 times -\frac{y}{5}+7.

$$-\frac{7}{5}y+49+1.1y=40$$

Idagdag ang -\frac{7y}{5} sa \frac{11y}{10}.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

I-subtract ang 49 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{10}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=30$$

I-substitute ang 30 para sa y sa x=-\frac{1}{5}y+7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times 30.

$$x=-6+7$$

Idagdag ang 7 sa -6.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.1}{5\times 1.1-7}&-\frac{1}{5\times 1.1-7}\\-\frac{7}{5\times 1.1-7}&\frac{5}{5\times 1.1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$7\times 5x+7y=7\times 35,5\times 7x+5\times 1.1y=5\times 40$$

Pasimplehin.

$$35x+7y=245,35x+5.5y=200$$

I-subtract ang 35x+5.5y=200 mula sa 35x+7y=245 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$35x-35x+7y-5.5y=245-200$$

Idagdag ang 35x sa -35x. Naka-cancel out ang term na 35x at -35x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7y-5.5y=245-200$$

Idagdag ang 7y sa -\frac{11y}{2}.

$$1.5y=245-200$$

Idagdag ang 245 sa -200.

$$1.5y=45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1.5, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=30$$

I-substitute ang 30 para sa y sa 7x+1.1y=40. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x+1.1\times 30=40$$

I-multiply ang 1.1 times 30.

$$7x+33=40$$

I-subtract ang 33 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=30$$