Lutasin ang {l}{5x+2y=6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+2y=6$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-2y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -2y+6.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

I-substitute ang \frac{-2y+6}{5} para sa x sa kabilang equation na 2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

I-multiply ang 2 times \frac{-2y+6}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{12}{5}+5y=8$$

Idagdag ang -\frac{4y}{5} sa 5y.

$$\frac{21}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

I-subtract ang \frac{12}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{21}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{4}{3} para sa y sa x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{6}{5}$$

I-multiply ang -\frac{2}{5} times \frac{4}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{6}{5}$$

Idagdag ang \frac{6}{5} sa -\frac{8}{15} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\times 6+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 6,5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

Pasimplehin.

$$10x+4y=12,10x+25y=40$$

I-subtract ang 10x+25y=40 mula sa 10x+4y=12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+4y-25y=12-40$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y-25y=12-40$$

Idagdag ang 4y sa -25y.

$$-21y=12-40$$

Idagdag ang 12 sa -40.

$$-21y=-28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -21.

$$y=\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{4}{3} para sa y sa 2x+5y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+5\times \frac{4}{3}=8$$

I-multiply ang 5 times \frac{4}{3}.

$$2x+\frac{20}{3}=8$$

I-subtract ang \frac{20}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{4}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$