Lutasin ang {l}{5x+1y=2}{2x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 1 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

$$y=-\frac{2}{9}\approx -0.222222222$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+y=2$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -y+2.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}$$

I-substitute ang \frac{-y+2}{5} para sa x sa kabilang equation na 2x-5y=2.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}\right)-5y=2$$

I-multiply ang 2 times \frac{-y+2}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-5y=2$$

Idagdag ang -\frac{2y}{5} sa -5y.

$$-\frac{27}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

I-subtract ang \frac{4}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{27}{5}y=\frac{6}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{27}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{2}{9}$$

I-substitute ang -\frac{2}{9} para sa y sa x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{5}$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times -\frac{2}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2}{45}+\frac{2}{5}$$

Idagdag ang \frac{2}{5} sa \frac{2}{45} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{4}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{5\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-2}&\frac{5}{5\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{1}{27}\\\frac{2}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}\times 2+\frac{1}{27}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2-\frac{5}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$2\times 5x+2y=2\times 2,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\times 2$$

Pasimplehin.

$$10x+2y=4,10x-25y=10$$

I-subtract ang 10x-25y=10 mula sa 10x+2y=4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+2y+25y=4-10$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y+25y=4-10$$

Idagdag ang 2y sa 25y.

$$27y=4-10$$

Idagdag ang 4 sa -10.

$$27y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 27.

$$y=-\frac{2}{9}$$

I-substitute ang -\frac{2}{9} para sa y sa 2x-5y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-5\left(-\frac{2}{9}\right)=2$$

I-multiply ang -5 times -\frac{2}{9}.

$$2x+\frac{10}{9}=2$$

I-subtract ang \frac{10}{9} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{8}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$