Lutasin ang {l}{4x-7y=-8}{3x+2y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = - 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-2$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-7y=-8,3x+2y=-6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-7y=-8$$

Idagdag ang 7y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=7y-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y-8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times 7y-8.

$$x=\frac{7}{4}y-2$$

I-substitute ang \frac{7y}{4}-2 para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=-6.

$$3\left(\frac{7}{4}y-2\right)+2y=-6$$

I-multiply ang 3 times \frac{7y}{4}-2.

$$\frac{21}{4}y-6+2y=-6$$

Idagdag ang \frac{21y}{4} sa 2y.

$$\frac{29}{4}y-6=-6$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{29}{4}y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{29}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa x=\frac{7}{4}y-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-7y=-8,3x+2y=-6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-7\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-7\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{3}{29}&\frac{4}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\left(-8\right)+\frac{7}{29}\left(-6\right)\\-\frac{3}{29}\left(-8\right)+\frac{4}{29}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-2,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-7y=-8,3x+2y=-6$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$3\times 4x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right),4\times 3x+4\times 2y=4\left(-6\right)$$

Pasimplehin.

$$12x-21y=-24,12x+8y=-24$$

I-subtract ang 12x+8y=-24 mula sa 12x-21y=-24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x-21y-8y=-24+24$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-21y-8y=-24+24$$

Idagdag ang -21y sa -8y.

$$-29y=-24+24$$

Idagdag ang -24 sa 24.

$$-29y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -29.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa 3x+2y=-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=0$$