Lutasin ang {l}{4x-7y=-4}{7x+5y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = - 4 } \\ { 7 x + 5 y = - 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-7y=-4$$

Idagdag ang 7y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=7y-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y-4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times 7y-4.

$$x=\frac{7}{4}y-1$$

I-substitute ang \frac{7y}{4}-1 para sa x sa kabilang equation na 7x+5y=-7.

$$7\left(\frac{7}{4}y-1\right)+5y=-7$$

I-multiply ang 7 times \frac{7y}{4}-1.

$$\frac{49}{4}y-7+5y=-7$$

Idagdag ang \frac{49y}{4} sa 5y.

$$\frac{69}{4}y-7=-7$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{69}{4}y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{69}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa x=\frac{7}{4}y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}&\frac{7}{69}\\-\frac{7}{69}&\frac{4}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}\left(-4\right)+\frac{7}{69}\left(-7\right)\\-\frac{7}{69}\left(-4\right)+\frac{4}{69}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$7\times 4x+7\left(-7\right)y=7\left(-4\right),4\times 7x+4\times 5y=4\left(-7\right)$$

Pasimplehin.

$$28x-49y=-28,28x+20y=-28$$

I-subtract ang 28x+20y=-28 mula sa 28x-49y=-28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$28x-28x-49y-20y=-28+28$$

Idagdag ang 28x sa -28x. Naka-cancel out ang term na 28x at -28x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-49y-20y=-28+28$$

Idagdag ang -49y sa -20y.

$$-69y=-28+28$$

Idagdag ang -28 sa 28.

$$-69y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -69.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa 7x+5y=-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x=-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=0$$