Lutasin ang {l}{4x-3y=21}{x=-y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 21 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$x+y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-3y=21$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=3y+21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+21\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times 21+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

I-substitute ang \frac{21+3y}{4} para sa x sa kabilang equation na x+y=0.

$$\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+y=0$$

Idagdag ang \frac{3y}{4} sa y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{21}{4}=0$$

I-subtract ang \frac{21}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{21}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{21}{4}$$

I-multiply ang \frac{3}{4} times -3.

$$x=\frac{-9+21}{4}$$

Idagdag ang \frac{21}{4} sa -\frac{9}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$x+y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\-\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$x+y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$4x-3y=21,4x+4y=0$$

I-subtract ang 4x+4y=0 mula sa 4x-3y=21 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4x-4x-3y-4y=21$$

Idagdag ang 4x sa -4x. Naka-cancel out ang term na 4x at -4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y-4y=21$$

Idagdag ang -3y sa -4y.

$$-7y=21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=-3$$

I-substitute ang -3 para sa y sa x+y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-3=0$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-3$$