Lutasin ang {l}{4x+y=3}{3x-3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 3 } \\ { 3 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

$$y=\frac{13}{15}\approx 0.866666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+y=3$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-y+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -y+3.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$$

I-substitute ang \frac{-y+3}{4} para sa x sa kabilang equation na 3x-3y=-1.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=-1$$

I-multiply ang 3 times \frac{-y+3}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}-3y=-1$$

Idagdag ang -\frac{3y}{4} sa -3y.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{4}=-1$$

I-subtract ang \frac{9}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{13}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{15}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{13}{15}$$

I-substitute ang \frac{13}{15} para sa y sa x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{13}{15}+\frac{3}{4}$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times \frac{13}{15} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{13}{60}+\frac{3}{4}$$

Idagdag ang \frac{3}{4} sa -\frac{13}{60} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{8}{15}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-3\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{15}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{4}{15}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{15}\\\frac{13}{15}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 3,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$12x+3y=9,12x-12y=-4$$

I-subtract ang 12x-12y=-4 mula sa 12x+3y=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+3y+12y=9+4$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y+12y=9+4$$

Idagdag ang 3y sa 12y.

$$15y=9+4$$

Idagdag ang 9 sa 4.

$$15y=13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$y=\frac{13}{15}$$

I-substitute ang \frac{13}{15} para sa y sa 3x-3y=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-3\times \frac{13}{15}=-1$$

I-multiply ang -3 times \frac{13}{15}.

$$3x-\frac{13}{5}=-1$$

Idagdag ang \frac{13}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=\frac{8}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{8}{15}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$