Lutasin ang {l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+y=-5$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-y-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -y-5.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

I-substitute ang \frac{-y-5}{4} para sa x sa kabilang equation na 3x-2y=-14.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

I-multiply ang 3 times \frac{-y-5}{4}.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

Idagdag ang -\frac{3y}{4} sa -2y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

Idagdag ang \frac{15}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{11}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{41}{11}$$

I-substitute ang \frac{41}{11} para sa y sa x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times \frac{41}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

Idagdag ang -\frac{5}{4} sa -\frac{41}{44} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{24}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

Pasimplehin.

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

I-subtract ang 12x-8y=-56 mula sa 12x+3y=-15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y+8y=-15+56$$

Idagdag ang 3y sa 8y.

$$11y=-15+56$$

Idagdag ang -15 sa 56.

$$11y=41$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$y=\frac{41}{11}$$

I-substitute ang \frac{41}{11} para sa y sa 3x-2y=-14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

I-multiply ang -2 times \frac{41}{11}.

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

Idagdag ang \frac{82}{11} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-\frac{72}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-\frac{24}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$