Lutasin ang {l}{4x+3y=26}{3x-11y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 26 } \\ { 3 x - 11 y = - 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+3y=26$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-3y+26$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+26\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -3y+26.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}$$

I-substitute ang -\frac{3y}{4}+\frac{13}{2} para sa x sa kabilang equation na 3x-11y=-7.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}\right)-11y=-7$$

I-multiply ang 3 times -\frac{3y}{4}+\frac{13}{2}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{2}-11y=-7$$

Idagdag ang -\frac{9y}{4} sa -11y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{39}{2}=-7$$

I-subtract ang \frac{39}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{53}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{53}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{13}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times 2.

$$x=\frac{-3+13}{2}$$

Idagdag ang \frac{13}{2} sa -\frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{4\left(-11\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-11\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}&\frac{3}{53}\\\frac{3}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}\times 26+\frac{3}{53}\left(-7\right)\\\frac{3}{53}\times 26-\frac{4}{53}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 26,4\times 3x+4\left(-11\right)y=4\left(-7\right)$$

Pasimplehin.

$$12x+9y=78,12x-44y=-28$$

I-subtract ang 12x-44y=-28 mula sa 12x+9y=78 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+9y+44y=78+28$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$9y+44y=78+28$$

Idagdag ang 9y sa 44y.

$$53y=78+28$$

Idagdag ang 78 sa 28.

$$53y=106$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 53.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 3x-11y=-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-11\times 2=-7$$

I-multiply ang -11 times 2.

$$3x-22=-7$$

Idagdag ang 22 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=2$$