Lutasin ang {l}{4x+3y=12.5}{3x+3y=10.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 12.5 } \\ { 3 x + 3 y = 10.5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=1.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+3y=12.5$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-3y+12.5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+12.5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -3y+12.5.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}$$

I-substitute ang -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8} para sa x sa kabilang equation na 3x+3y=10.5.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}\right)+3y=10.5$$

I-multiply ang 3 times -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{75}{8}+3y=10.5$$

Idagdag ang -\frac{9y}{4} sa 3y.

$$\frac{3}{4}y+\frac{75}{8}=10.5$$

I-subtract ang \frac{75}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{4}y=\frac{9}{8}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{3}{2} para sa y sa x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}+\frac{25}{8}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times \frac{3}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

Idagdag ang \frac{25}{8} sa -\frac{9}{8} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5-10.5\\-12.5+\frac{4}{3}\times 10.5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1.5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=1.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

I-subtract ang 3x+3y=10.5 mula sa 4x+3y=12.5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4x-3x+3y-3y=\frac{25-21}{2}$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4x-3x=\frac{25-21}{2}$$

Idagdag ang 4x sa -3x.

$$x=\frac{25-21}{2}$$

Idagdag ang 12.5 sa -10.5 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa 3x+3y=10.5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$3\times 2+3y=10.5$$

I-multiply ang 3 times 2.

$$6+3y=10.5$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=4.5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=1.5$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=1.5$$