Lutasin ang {l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+3y+14=0$$

I-subtract ang 14 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x+3y=-14$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-3y-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -3y-14.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

I-substitute ang -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} para sa x sa kabilang equation na 2x+5y+16=0.

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

I-multiply ang 2 times -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2}.

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa 5y.

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

Idagdag ang -7 sa 16.

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{2}y=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{18}{7}$$

I-substitute ang -\frac{18}{7} para sa y sa x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times -\frac{18}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

Idagdag ang -\frac{7}{2} sa \frac{27}{14} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{11}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

Pasimplehin.

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

I-subtract ang 8x+20y+64=0 mula sa 8x+6y+28=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y-20y+28-64=0$$

Idagdag ang 6y sa -20y.

$$-14y+28-64=0$$

Idagdag ang 28 sa -64.

$$-14y-36=0$$

Idagdag ang 36 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-14y=36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -14.

$$y=-\frac{18}{7}$$

I-substitute ang -\frac{18}{7} para sa y sa 2x+5y+16=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

I-multiply ang 5 times -\frac{18}{7}.

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

Idagdag ang -\frac{90}{7} sa 16.

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

I-subtract ang \frac{22}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-\frac{22}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-\frac{11}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$