Lutasin ang {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9} \approx 3.444444444$$

$$y = \frac{257}{45} = 5\frac{32}{45} \approx 5.711111111$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+2y=25.2$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-2y+25.2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25.2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -2y+25.2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} para sa x sa kabilang equation na x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

Idagdag ang -\frac{y}{2} sa 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

I-subtract ang \frac{63}{10} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{9}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{257}{45}$$

I-substitute ang \frac{257}{45} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times \frac{257}{45} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Idagdag ang \frac{63}{10} sa -\frac{257}{90} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{31}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25.2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25.2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$4x+2y=25.2,4x+4\times 5y=4\times 32$$

Pasimplehin.

$$4x+2y=25.2,4x+20y=128$$

I-subtract ang 4x+20y=128 mula sa 4x+2y=25.2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4x-4x+2y-20y=25.2-128$$

Idagdag ang 4x sa -4x. Naka-cancel out ang term na 4x at -4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y-20y=25.2-128$$

Idagdag ang 2y sa -20y.

$$-18y=25.2-128$$

Idagdag ang 25.2 sa -128.

$$-18y=-102.8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -18.

$$y=\frac{257}{45}$$

I-substitute ang \frac{257}{45} para sa y sa x+5y=32. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

I-multiply ang 5 times \frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

I-subtract ang \frac{257}{9} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{31}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$