Lutasin ang {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Pagsamahin ang 4x at -3x para makuha ang x.

$$x+4y+3y=10$$

Pagsamahin ang 4y at 3y para makuha ang 7y.

$$x+7y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Pagsamahin ang 2x at -3x para makuha ang -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Pagsamahin ang 2y at 3y para makuha ang 5y.

$$-x+5y=2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+7y=10$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-7y+10$$

I-substitute ang -7y+10 para sa x sa kabilang equation na -x+5y=2.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

I-multiply ang -1 times -7y+10.

$$7y-10+5y=2$$

Idagdag ang 7y sa 5y.

$$12y-10=2$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$12y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=-7y+10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-7+10$$

Idagdag ang 10 sa -7.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Pagsamahin ang 4x at -3x para makuha ang x.

$$x+4y+3y=10$$

Pagsamahin ang 4y at 3y para makuha ang 7y.

$$x+7y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Pagsamahin ang 2x at -3x para makuha ang -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Pagsamahin ang 2y at 3y para makuha ang 5y.

$$-x+5y=2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Pagsamahin ang 4x at -3x para makuha ang x.

$$x+4y+3y=10$$

Pagsamahin ang 4y at 3y para makuha ang 7y.

$$x+7y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Pagsamahin ang 2x at -3x para makuha ang -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Pagsamahin ang 2y at 3y para makuha ang 5y.

$$-x+5y=2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Para gawing magkatumbas ang x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

I-subtract ang -x+5y=2 mula sa -x-7y=-10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

Idagdag ang -x sa x. Naka-cancel out ang term na -x at x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-7y-5y=-10-2$$

Idagdag ang -7y sa -5y.

$$-12y=-10-2$$

Idagdag ang -10 sa -2.

$$-12y=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa -x+5y=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+5=2$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$