Lutasin ang {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$361x+463y=-102$$

I-subtract ang 463y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$361x=-463y-102$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 361.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{361} times -463y-102.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

I-substitute ang \frac{-463y-102}{361} para sa x sa kabilang equation na 463x+361y=102.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

I-multiply ang 463 times \frac{-463y-102}{361}.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

Idagdag ang -\frac{214369y}{361} sa 361y.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

Idagdag ang \frac{47226}{361} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{84048}{361}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

I-multiply ang -\frac{463}{361} times -1.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

Idagdag ang -\frac{102}{361} sa \frac{463}{361} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Para gawing magkatumbas ang 361x at 463x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 463 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 361.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

Pasimplehin.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

I-subtract ang 167143x+130321y=36822 mula sa 167143x+214369y=-47226 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

Idagdag ang 167143x sa -167143x. Naka-cancel out ang term na 167143x at -167143x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

Idagdag ang 214369y sa -130321y.

$$84048y=-47226-36822$$

Idagdag ang -47226 sa -36822.

$$84048y=-84048$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 84048.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa 463x+361y=102. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

I-multiply ang 361 times -1.

$$463x-361=102$$

Idagdag ang 361 sa magkabilang dulo ng equation.

$$463x=463$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 463.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$