Lutasin ang {l}{3600=30x+210y}{7920=48x+552y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3600 = 30 x + 210 y } \\ { 7920 = 48 x + 552 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=50$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$30x+210y=3600$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$48x+552y=7920$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$30x+210y=3600,48x+552y=7920$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$30x+210y=3600$$

I-subtract ang 210y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$30x=-210y+3600$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-210y+3600\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{30} times -210y+3600.

$$x=-7y+120$$

I-substitute ang -7y+120 para sa x sa kabilang equation na 48x+552y=7920.

$$48\left(-7y+120\right)+552y=7920$$

I-multiply ang 48 times -7y+120.

$$-336y+5760+552y=7920$$

Idagdag ang -336y sa 552y.

$$216y+5760=7920$$

I-subtract ang 5760 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$216y=2160$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 216.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x=-7y+120. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-7\times 10+120$$

I-multiply ang -7 times 10.

$$x=-70+120$$

Idagdag ang 120 sa -70.

$$x=50$$

Nalutas na ang system.

$$x=50,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$30x+210y=3600$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$48x+552y=7920$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$30x+210y=3600,48x+552y=7920$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{552}{30\times 552-210\times 48}&-\frac{210}{30\times 552-210\times 48}\\-\frac{48}{30\times 552-210\times 48}&\frac{30}{30\times 552-210\times 48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{270}&-\frac{7}{216}\\-\frac{1}{135}&\frac{1}{216}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{270}\times 3600-\frac{7}{216}\times 7920\\-\frac{1}{135}\times 3600+\frac{1}{216}\times 7920\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=50,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$30x+210y=3600$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$48x+552y=7920$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$30x+210y=3600,48x+552y=7920$$

Para gawing magkatumbas ang 30x at 48x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 48 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 30.

$$48\times 30x+48\times 210y=48\times 3600,30\times 48x+30\times 552y=30\times 7920$$

Pasimplehin.

$$1440x+10080y=172800,1440x+16560y=237600$$

I-subtract ang 1440x+16560y=237600 mula sa 1440x+10080y=172800 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$1440x-1440x+10080y-16560y=172800-237600$$

Idagdag ang 1440x sa -1440x. Naka-cancel out ang term na 1440x at -1440x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10080y-16560y=172800-237600$$

Idagdag ang 10080y sa -16560y.

$$-6480y=172800-237600$$

Idagdag ang 172800 sa -237600.

$$-6480y=-64800$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6480.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa 48x+552y=7920. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$48x+552\times 10=7920$$

I-multiply ang 552 times 10.

$$48x+5520=7920$$

I-subtract ang 5520 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$48x=2400$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 48.

$$x=50$$

Nalutas na ang system.

$$x=50,y=10$$